Une *{bold::expérience aléatoire} est une expérience renouvelable dont les résultats possibles, généralement appelés *{tdu::issues}, sont connus sans qu'on puisse déterminer lequel sera réalisé.
L'*{bold::univers} d'une expérience aléatoire est l'ensemble des issues possibles appelées également résultats ou éventualités. On le note $\Omega$.
Le *{bold::cardinal} de l'univers d'une expérience aléatoire est le nombre d'*{tdu::issues} de cet univers. On le note $\text{card}(\Omega)$
Donner les univers $\Omega$ des expériences aléatoires suivantes ainsi que leur cardinal :
$E_1$ : Lancer un dé à six faces.
&
$E_2$ : Lancer une pièce de monnaie.
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$E_3$ : Choisir un nombre entier dans $[0;10]$
&
$E_4$ : Le sexe d'un nourrisson.
Une *{bold::évènement} d'une expérience aléatoire est un sous-ensemble de l'univers c'est à dire un sous-ensemble comprenant des *{tdu::issues}.
Soient deux évènements $A$ et $B$ d'une même expérience aléatoire.
L'*{bold::union} des évènements $A$ et $B$, notée $A \cup B$, est l'ensemble des issues qui réalise $A$ *{bold::ou} $B$. On dit "$A$ union $B$".
Soient deux évènements $A$ et $B$ d'une même expérience aléatoire.
L'*{bold::intersection} des évènements $A$ et $B$, notée $A \cap B$, est l'ensemble des issues qui réalise $A$ *{bold::et} $B$. On dit "$A$ inter $B$".
On considère l'expérience aléatoire : "lancer un dé à six faces". Décrire les évènements suivants :
$A$ : "Faire un nombre pair"
&
$B$ : "Faire un nombre multiple de $3$"
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$A \cup B$
&
$ A \cap B$
Lorsqu'on répète $n$ fois, de façon indépendante, une expérience aléatoire, la fréquence d'une issue va avoir tendance à se stabiliser lorsque $n$ augmente. La probabilité de l'issue est très proche de la valeur stabilisée observée. Il faut s'assurer que la somme des probabilités fasse $1$
On considère l'expérience aléatoire $E_1$ : "lancer un dé à six faces" que l'on réalise un certain nombre de fois. Voici les résultats ci-contre.
Pour $n = 100$, $n=500$ et $n=1\;000$, estimer les probabilités de choisir les faces $n^\circ 1$, $n^\circ 2$, $n^\circ 3$, $n^\circ 4$, $n^\circ 5$ et $n^\circ 6$ du dé.
Nbr d'expériences $E_1$ : $n$ & $100$ & $1\;000$ & $500$|| Face $n^\circ 1$ & $18$ & $165$ & $78$ || Face $n^\circ 2$ & $16$ & $189$ & $82$ || Face $n^\circ 3$ & $17$ & $187$ & $85$ || Face $n^\circ 4$ & $15$ & $169$ & $79$ || Face $n^\circ 5$ & $15$ & $174$ & $87$ || Face $n^\circ 6$ & $19$ & $116$ & $89$
Dans un modèle *{bold::équiréparti}, chaque issue a la même probabilité qui vaut :
$ \displaystyle \frac{1}{\mathrm{Nombre\; d'issues\; possibles}} = \dfrac{1}{\text{card}(\Omega)} $ vspace{5} On dit aussi que c'est une situation d'*{bold::équiprobabilité}.
On considère l'expérience aléatoire $E_1$ : "lancer un dé à six faces". On suppose qu'il s'agisse d'une situation d'équiprobabilité.
Pourquoi est-il raisonnable de choisir l'équiprobabilité comme modèle.
&
Quelle est la probabilité d'obtenir la face $n^\circ 1$
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Quelle est la probabilité d'obtenir la face $n^\circ 3$
&
Quelle est la probabilité d'obtenir la face $n^\circ 6$
Une *{bold::loi de probabilité} sur un univers $\Omega$ associe à chaque issue qui le réalise un nombre compris entre $0$ et $1$ appelé *{bold::probabilité}. La somme des probabilités des issues est $1$.
,, Une probabilité valant $1$ indique que l'issue se réalise à chaque expérience.
,, Une probabilité valant $0$ indique que l'issue ne se réalise jamais et ce quelque soit expérience.
La *{bold::probabilité d'un événement} est la somme des probabilités des issues qui le réalisent. Pour un évènement $A$, on note sa probabilité $P(A)$.
,, Un événement *{bold::impossible} est un événement qui ne se réalise jamais. Sa probabilité vaut $0$.
,, Un événement *{bold::certain} est un événement qui est sûr de se réaliser. Sa probabilité vaut $1$.
Soit $A$ un événement. L'événement *{bold::contraire} à $A$ est constitué des issues de $\Omega$ ne se réalisant pas dans $A$ et se note $\overline{A}$. Sa probabilité vaut : $P(\overline{A}) = 1 -P(A)$.
Si $A$ et $B$ sont deux événements alors : $ \displaystyle P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$
On lance un dé équilibré à $20$ faces et on note le numéro de la face du dessus. On note $A$ l'évènement : "obtenir un nombre pair" et l'évènement $B$ : "obtenir un nombre multiple de $3$".
Est-ce une situation d'équiprobabilité ?
&
Déterminer $P(A)$
||
Décrire l'évènement $\overline{A}$.
&
Déterminer $P(\overline{A})$
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Décrire l'évènement $\overline{B}$.
&
Déterminer $P(\overline{B})$
||
Déterminer $P(A \cup B)$ et $P(A \cap B)$. Vérifier la propriété.
&
Décrire les évènements $\overline{A} \cup B$ , $A \cup \overline{B}$ et $\overline{A} \cup \overline{B}$. Déterminer les probabilités correspondantes.
Au restaurant scolaire, les élèves ont le choix :
,, entre 2 entrées :Artichaut ou Betterave;
,, entre 3 plats : Cheval, Daube ou Escalope;
,, entre 2 desserts : Fromage ou Gâteau.
Un menu se compose :
,, d’une entrée ;
,, d’un plat ;
,, d’un dessert. &
En utilisant un arbre, représenter tous les menus.
Combien de menus différents sont possibles ?
On choisit un menu au hasard. Quelle est la probabilité :
qu’il comporte une escalope ?
qu’il comporte de l’artichaut et du fromage ?
qu’il ne comporte pas de cheval ?
Trois CD notés $a$, $b$ et $c$ ont respectivement des boîtes nommées $A$, $B$ et $C$. On range les $3$ CD au hasard dans les boîtes sans voir leur étiquette.
Combien de rangements sont possibles ?
Quelle est la probabilité :
que les $3$ CD soient bien rangés ?
qu’exactement $1$ CD soit bien rangé ?
qu’exactement $2$ CD soient bien rangés ?
En déduire la probabilité qu’aucun CD ne soit bien rangé.
Une entreprise fabrique des ordinateurs portables. Ils peuvent présenter deux défauts : ,, un défaut de clavier ou ,, un défaut d’écran.
Sur un grand nombre d’ordinateurs, une étude statistique montre que : ,, $2\%$ présentent un défaut d’écran; ,, $2,4\%$ présentent un défaut de clavier; ,, $1,5\%$ présentent les deux défauts.
On choisit au hasard un ordinateur et on considère les événements suivants.
,, $E$ : « L’ordinateur présente un défaut d’écran »;
,, $C$ : « L’ordinateur présente un défaut de clavier ». Déterminer $P(E)$, $P(C)$ et $P(E \cap C)$.
On considère les événements suivants.
,, « L’ordinateur présente au moins un défaut »;
,, « L’ordinateur ne présente que le défaut d’écran ». Traduire ces 2 événements à l’aide de $E$ et $C$. Calculer leur probabilité.
Une urne contient 4 jetons :,, deux jaunes ; ,, un rose ; ,, un violet.
On tire au hasard un jeton de l’urne puis un second sans remettre le premier.
On suppose que tous les tirages sont équiprobables.
Représenter cette situation par un arbre. Combien y-a-t-il de tirages possibles ?
On considère les événements suivants : ,, $R$ : « Le premier jeton tiré est rose » et ,, $J$ : « Le deuxième jeton tiré est jaune »
Déterminer $P(R)$ et $P(J)$.
Traduire par une phrase $R \cap J$ puis calculer $P(R \cap J)$. Calculer $P(R \cup J)$.
On considère l'événement : ,, $N$ : « Aucun jeton tiré n'est jaune »
Calculer $P(N)$. Exprimer par une phrase $\overline{N}$ puis calculer $P(\overline{N})$.