$\bullet\; -4-5 = -9$ & $\bullet\;-6-2=-8$ & $\bullet\;-2+2 = 0$ || $\bullet\; -7+2=-5$ & $\bullet\;2+3=5$ & $\bullet\;-7+3 = -4$ ||
$\bullet\; +(-3) = -3$ & $\bullet\;+(+9) = +9$ & $\bullet\;-(+7) = -7$ & $\bullet\;-(-8) = +8$
Effectuer les opérations suivantes :
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\num1 $(+5)\times(-3) = -15$ & \num2 $(+2)\times(+9) = +18$ & \num3 $(-3)\times(+7) = -21$ & \num4 $(-5)\times(-8) = +40$
\num1 $(+10)\div(-2) = -5$ & \num2 $(+2)\div(+2) = +1$ & \num3 $(-9)\div(+3) = -3$ & \num4 $(-18)\div(-3) = +6$
Si le nombre de signes "-" est pair le produit ou le quotient est positif. Si le nombre de signes "-" est impair le produit ou le quotient est négatif.
Effectuer les opérations suivantes :
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\num1 $\displaystyle \frac{8}{-2} = -\frac{8}{2} = -4$ & \num2 $\displaystyle \frac{+6}{+5} = \frac{6}{5}$ & \num3 $\displaystyle -\frac{12}{-6} = \frac{12}{6} = 2$ & \num4 $\displaystyle \frac{-13}{6} = -\frac{13}{6}$
Simplifier les expressions suivantes :
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Dans un calcul, on commence en priorité par : vspace{5} \num1 Les parenthèses (des plus intérieures au plus extérieures)
\num2 Les divisions et les multiplications (de gauche à droite)
\num3 Les additions et les soustractions (de gauche à droite)
Calculer les expressions suivantes :
$\displaystyle \frac{24}{66} = \frac{{\cancel{{\mathbf 2}}}\times 12}{{\cancel{{\mathbf 2}}}\times 33} = \frac{12}{33} = \frac{{\cancel{{\mathbf 3}}}\times 4}{{\cancel{{\mathbf 3}}}\times 11} = \frac{4}{11} $
Simplifier les fractions suivantes :
$\displaystyle \frac{22}{154} $
&
$\displaystyle \frac{48}{16} $
&
$\displaystyle \frac{75}{30} $
&
$\displaystyle \frac{120}{150}$
||
$\displaystyle \frac{654}{122} $
&
$\displaystyle \frac{66}{18} $
&
$\displaystyle \frac{21}{49} $
&
$\displaystyle \frac{104}{18}$
$\displaystyle \frac{7}{6} + \frac{5}{9} = \frac{7\times {\mathbf 3}}{6 \times {\mathbf 3}} + \frac{5\times{\mathbf 2}}{9\times{\mathbf 2}} = \frac{21}{18} + \frac{10}{18} = \frac{31}{18}$ vspace{20} $\displaystyle \frac{7}{3} - 2 = \frac{7}{3} - \frac{2}{1} = \frac{7\times {\mathbf 1}}{3 \times {\mathbf 1}} - \frac{2\times{\mathbf 3}}{1\times{\mathbf 3}} = \frac{7}{3} - \frac{6}{3} = \frac{1}{3}$ vspace{10} Pour soustraire ou additionner des fractions, il faut les mettre au même dénominateur.
Calculer et simplifier les expressions suivantes :
$\displaystyle \frac{3}{21} + \frac{2}{14}$
&
$\displaystyle \frac{4}{18} + \frac{5}{27}$
&
$\displaystyle \frac{1}{5} - \frac{2}{3}$
||
$\displaystyle \frac{11}{3} + \frac{1}{7} - \frac{8}{21}$
&
$\displaystyle 1 - \frac{5}{4}$
&
$\displaystyle \frac{11}{8} + \frac{7}{3} - \frac{6}{5}$
||
$\displaystyle \frac{2}{5} + \frac{1}{15} - \frac{1}{3}$
&
$\displaystyle 2 - \frac{1}{9}$
&
$\displaystyle \frac{5}{9} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}$
$\displaystyle E = \frac{9}{7} \times \frac{14}{15} = \frac{\cancel{{\mathbf 3}} \times 3}{\cancel{{\mathbf 7}}}\times\frac{2\times \cancel{{\mathbf 7}}}{\cancel{{\mathbf 3}} \times 5} = \frac{6}{5}$
Calculer les expressions suivantes :
$\displaystyle A = \frac{-2}{-21} \times \frac{-14}{3}$
&
$\displaystyle B = \frac{2}{6} \times \frac{-21}{7}$
&
$\displaystyle C = \frac{-3}{-10} \times \frac{11}{3}$
||
$\displaystyle D = \frac{8}{15}\times\frac{35}{24}$
&
$\displaystyle E =\Big(\frac{-1}{2}\Big)^2 $
&
$\displaystyle F = \frac{16}{-63}\times\frac{-35}{8} $
$\displaystyle E = \frac{10}{3} {\mathbf \div} \frac{\mathbf 5}{\mathbf 9} = \frac{10}{3} {\mathbf \times} \frac{\mathbf 9}{\mathbf 5} = \frac{\cancel{{\mathbf 3}} \times 3}{\cancel{{\mathbf 7}}}\times\frac{2\times \cancel{{\mathbf 7}}}{\cancel{{\mathbf 3}} \times 5} = \frac{6}{5}$ vspace{15} $F = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{8}{7}} = \frac{1}{3} \div \frac{8}{7} = \frac{1}{3} \times \frac{7}{8} = \frac{1\times 7}{3 \times 8} = \frac{7}{24} $
Calculer les expressions suivantes :
$\displaystyle A = \frac{-4}{13} \div \frac{-76}{9} $
&
$\displaystyle B = \frac{1}{8} \div \frac{7}{11}$
&
$\displaystyle C = \frac{\displaystyle\frac{3}{5}}{\displaystyle\frac{12}{15}}$
||
$\displaystyle D = \frac{-13}{6}\div \frac{-1}{32}$
&
$\displaystyle E =9 \div \frac{-1}{4} $
&
$\displaystyle F = \frac{\displaystyle\frac{-5}{12}}{2}$
Calculer les expressions suivantes :
$\displaystyle A = \frac{\displaystyle \frac{1}{3} - 3}{\displaystyle \frac{5}{7} - \frac{2}{5}}$
&
$\displaystyle B = \frac{\displaystyle \frac{4}{7}-2}{ \displaystyle 2 - \frac{11}{14}} $
&
$\displaystyle C = \frac{\displaystyle 2-\frac{1}{3}}{\displaystyle 3+\frac{1}{4}}$
||
$\displaystyle D=\frac{2}{9} - \frac{3}{4}\div\frac{5}{2} $
&
$\displaystyle E = \frac{26}{7} - \frac{22}{7}\times\frac{10}{33} $
&
$\displaystyle F = \frac{\displaystyle (-1) - \frac{-1}{3}}{\displaystyle \frac{-2}{3} - (-1)}$
Calculer les trois dixièmes de $34$ revient à calculer : vspace{5} $\displaystyle \frac{3}{10}\times 34 = \frac{3}{10}\times \frac{34}{1} = \frac{3}{\cancel{{\mathbf 2}}\times5}\times\frac{\cancel{{\mathbf 2}}\times17}{1} = \frac{51}{5} $
Calculer les six septièmes de $49$.
&
Calculer les deux tiers de six demi.
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Calculer les $25\%$ de quatre neuvièmes.
&
Calculer les $\displaystyle \frac{3}{4}$ de $\displaystyle \frac{12}{7}$.
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Calculer les $\displaystyle \frac{5}{11}$ de $\displaystyle 100$.
&
Calculer les $11\%$ de $\displaystyle \frac{27}{121}$.
Aux USA, les températures sont exprimées en degrés Fahrenheit ($^\circ F$) : $77 ^\circ F$ équivaut à $25 ^\circ C$ et $86 ^\circ F$ équivaut à $30 ^\circ C$. Les mesures des températures en $^\circ F$ et en $^\circ C$ sont-elles proportionnelles ?
Dans un établissement scolaire de $560$ élèves, il y a $224$ garçons. Quel est le pourcentage de garçons ?
Jean obtient une réduction de $45\%$ sur une vélo valant $158$ €. Quel est le montant de la réduction obtenue par Jean ?
Un robinet d'eau fuit de telle sorte qu'il s'écoule $5$ litres d'eau en $35$ minutes et $7$ litres d'eau en $49$ minutes. S'agit-il d'une situation de proportionnalité ?
Aux USA, les distances routières sont exprimées en miles ($mi$) : $250 \; mi$ équivaut à $402,336 \; km$ et $1250 \; mi$ équivaut à $2011,68 \; km$. Les distances en $mi$ et en $km$ sont-elles proportionnelles ?
Patrick a obtenu une réduction de $65,25$ € sur une console de jeu qui valait $225$ €. Quel pourcentage de réduction a-t-il obtenu ? Justifier.
J'ai utilisé $50\; kg$ de semences pour un terrain de $1600\; m^2$. Quelle surface aurais-je pu ensemencer avec 90 kg de semences ?
Saïd a obtenu une baisse de $45$ € sur un appareil photo, soit une baisse de $15 \%$ du prix initial. Quel était le prix initial de l'appareil photo ?
En roulant à une vitesse moyenne de $72\; km/h$, quelle est la distance parcourue en $25\; min$ ?
Un magasin réalise une *{bold::augmentation} de $25\%$ sur des pantalons coûtant initialement $110$ €. Quel est le nouveau prix des pantalons ?
Au théâtre pour $4$ places achetées, on paye $48$ €. Pour $3$ places, on paye $36$ € et pour $7$ places on paye $80$ €. Est-ce proportionnel ?
Maurice a construit une maquette de la tour Eiffel au $1/600$. Sachant que la tour Eiffel a une hauteur de $324 \; m$, quelle est la hauteur de la maquette en $cm$ ?
Lors des soldes, un magasin propose une *{bold::réduction} de $30\%$ sur des blousons coûtant initialement $150$ €. Quel est le nouveau prix des blousons ?
En $2010$ le prix du $KWh$ d'électricité (mesure de consommation électrique) était de $0,1423$ €. En $2011$ il était de $0,1494$ €. Quel était le taux d'évolution (augmentation ou diminution) du prix du $KWh$ entre $2010$ et $2011$ ?
En $2012$ une voiture d'occasion était évalué (côte: prix de revente) à $6\;000$ €. En $2013$ sa côte a baissé de $11\%$. Déterminer le prix de revente de cette voiture en $2013$.
En $2012$ la production de déchets municipaux, par an et par habitant, était de $522\;kg$. En $2013$ cette production était de $518\;kg$. Quel était le taux d'évolution (augmentation ou diminution) de la production de déchets entre $2012$ et $2013$ ?
A paris, en $2015$ le prix du $m^3$ d'eau potable était de $3,28$ €. En $2016$ ce prix a augmenté de $1,52\%$. Déterminer le prix du $m^3$ d'eau potable en $2016$.
On considère deux nombres entiers naturels $a$ et $b$.
,, $\sqrt{a^2} = a$ & ,, $\sqrt{a}^2 = a$ & ,, $\sqrt{a\times b } = \sqrt{a}\times \sqrt{b}$ & ,, $\sqrt{a^2\times b } = a \sqrt{b}$ || ,, $\sqrt{0} = 0$ & ,, $\sqrt{1} = 1$ & ,, $\sqrt{4 } = 2$ & ,, $\sqrt{9} = 3$ || ,, $\sqrt{16} = 4$ & ,, $\sqrt{25} = 5$ & ,, $\sqrt{36} = 6$ & ,, $\sqrt{49} = 7$ || ,, $\sqrt{64} = 8$ & ,, $\sqrt{81} = 9$ & ,, $\sqrt{121} = 11$ & ,, $\sqrt{144} = 12$
Simplifier les racines carrées suivantes :
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Soient $x$ un nombre réel et $n$ un nombre entier relatif.
,, $x^n = \underbrace{x\times x \times \cdots x}_{n \text{ facteurs}}$ pour $n > 0$ hspace{70},, $x^0 = 1$ hspace{70},, $x^{-n} = \dfrac{1}{\underbrace{x\times x \times \cdots x}_{n \text{ facteurs}}}$ pour $n > 0$ vspace{10} Soit $a$ et $b$ deux nombres entiers :
,, $x^a \times x^b = x^{a+b}$ & ,, $x^a \div x^b = x^{a-b}$ & ,, $\dfrac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$ & ,, $(x^a)^b = x^{a\times b}$
Simplifier les expressions suivantes :
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Arrondir à l'unité les nombres suivants :
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vspace{5} Arrondir au dixième les nombres suivants :
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vspace{5} Arrondir au centième les nombres suivants :
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vspace{5} Arrondir au millième les nombres suivants :
&
&
&
,, L'ensemble des *{bold::nombres entiers naturels} est $\{0;1;2;3;\cdots;1023;\cdots\}$. Il se note $\N$.
,, L'ensemble des *{bold::nombres entiers relatifs} est $\{\cdots;-76;\cdots;-2;-1;0;1;2;\cdots;13;\cdots\}$. Il se note $\mathbb{Z}$.
,, L'ensemble des *{bold::nombres entiers relatifs positifs} se note $\mathbb{Z}^+ = \N$.
,, L'ensemble des *{bold::nombres entiers relatifs négatifs} est $\{\cdots;-15;\cdots;-2;-1;0\}$. Il se note $\mathbb{Z}^-$.
,, L'ensemble des *{bold::nombres décimaux} se note $\mathbb{D}$.
,, L'ensemble des *{bold::nombres rationnels} se note $\mathbb{Q}$.
,, L'ensemble des *{bold::nombres réels} se note $\mathbb{R}$.
,, L'ensemble des *{bold::nombres réels positifs} se note $\mathbb{R}^+$.
,, L'ensemble des *{bold::nombres réels négatifs} se note $\mathbb{R}^-$. vspace{10} On a : $\N \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
Donner le plus petit ensemble auquel les nombres suivants appartiennent :
$-2$
&
$\sqrt{16}$
&
$\pi$
&
$\sqrt{5}^2$
||
$\frac{5}{3}$
&
$\sqrt{2}$
&
$\frac{-9}{10}$
&
$-\frac{3\pi}{\pi}$
Un intervalle est un ensemble contigu de nombres c'est à dire qu'il n'y pas de "trou" dans un intervalle. Par exemple l'ensemble $\N$ n'est pas un intervalle car c'est un ensemble discret.
Un intervalle possède une borne inférieure et une borne supérieur :
,, L'ensemble des réels $x$ tels que $ a \leqslant x \leqslant b$ est représenté par l'intervalle $[a;b]$
,, L'ensemble des réels $x$ tels que $ a < x \leqslant b$ est représenté par l'intervalle $]a;b]$
,, L'ensemble des réels $x$ tels que $ a \leqslant x < b$ est représenté par l'intervalle $[a;b[$
,, L'ensemble des réels $x$ tels que $ a < x < b$ est représenté par l'intervalle $]a;b[$
,, L'ensemble des réels $x$ tels que $ x \leqslant b$ est représenté par l'intervalle $]-\infty;b]$
,, L'ensemble des réels $x$ tels que $ x < b$ est représenté par l'intervalle $]-\infty;b[$
,, L'ensemble des réels $x$ tels que $ x \geqslant a$ est représenté par l'intervalle $[a;+\infty[$
,, L'ensemble des réels $x$ tels que $ x > a$ est représenté par l'intervalle $]a;+\infty[$
,, L'ensemble des réels $\R$ est l'intervalle $]-\infty;+\infty[$
,, L'ensemble des réels $\R^+$ est l'intervalle $[0;+\infty[$
,, L'ensemble des réels $\R^-$ est l'intervalle $]-\infty;0]$
,, L'ensemble des réels $\R^{+*}$ est l'intervalle $]0;+\infty[$
,, L'ensemble des réels $\R^{-*}$ est l'intervalle $]-\infty;0[$ vspace{10} Des ensembles de nombres peuvent être représenté par des réunions d'intervalles disjoints (des "sommes" d'intervalles qui n'ont pas de nombre en commun) :
,, L'ensemble $\R\backslash \{ a\}$ correspond à $]-\infty;a[\cup]a;+\infty[$
,, L'ensemble $\R^* = \R\backslash \{ 0\}$ correspond à $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$
,, L'ensemble des réels $\R^+$ est l'intervalle $[0;+\infty[$
,, L'ensemble des réels $\R^-$ est l'intervalle $]-\infty;0]$
Donner sous forme d'intervalles l'ensemble des nombres réels $x$ suivants :
$-2 \leqslant x \leqslant 4$
&
$3 < x \leqslant 5$
&
$ x \geqslant 7$
||
$-8 \leqslant x \leqslant -6$ ou $0 < x < 3$
&
$-2 < x \leqslant 2$ ou $x \in R^{+*}$
&
$x \in R^{+*}\backslash\{ 3\}$