Dans un repère orthonormé $(O;I;J)$, le *{bold::cercle trigonométrique} $(\mathcal{C})$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$. Ce cercle est muni d'un sens de parcours appelé *{bold::sens direct} (sens inverse des aiguilles d'une montre).
La mesure en *{bold::radian} d'un angle correspond à la longueur de l'arc du cercle trigonométrique qu'il intercepte. La mesure en radian est *{bold::proportionnelle} à la mesure en degré. vspace{10} Pour repérer un point $M$ du cercle trigonométrique, on enroule autour du cercle un axe orienté, gradué, d’origine le point $I$. On peut alors associer, au point $M$, un réel $x$, abscisse d’un point de l’axe qui vient se superposer au point $M$.
Quand on fait un tour alors on se retrouve avec le même point sur le cercle trigonométrique. De ce fait le même point $M$ est associé aux réels $x$; $x+2\pi$ ; $x-2\pi$ ; $x+k\times 2\pi$ et $x-k\times 2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) &
mark({dx: 4,dy: 4,axes: false}) //grid(0) circle(0,0,4) point('sqrt(2)/2','sqrt(2)/2','M(x)') dash(0) line(0,0,'sqrt(2)/2','sqrt(2)/2') arrow('->') line(0,0,1,0) line(0,0,0,1) arc(0,0,1.5,0,45) arc(0.5,0.5,2.8,30,55) math('\\alpha',0.4,0.25,{fontSize: '12pt'}) math('x',1,0.45,{fontSize: '12pt'}) math('O',-0.1,-0.01,{fontSize: '12pt'}) math('I',1.05,0.05,{fontSize: '12pt'}) math('J',0,1.12,{fontSize: '12pt'}) math('+','1.5*sqrt(2)/2','1.5*sqrt(2)/2',{fontSize: '12pt'}) math('\\widehat{IOM} = \\alpha','0.2','-0.1',{fontSize: '12pt'})
vspace{5}
Convertir $\displaystyle \frac{\pi}{5}$, $\displaystyle \frac{5\pi}{2}$ et $\displaystyle \frac{-\pi}{4}$ en degré puis les placer sur le cercle trigonométrique.
Placer sur le cercle trigonométrique $\displaystyle -\frac{\pi}{3}$, $\displaystyle -\frac{\pi}{2}$, $\displaystyle \frac{11\pi}{8}$, $\displaystyle -\frac{5\pi}{8}$ et $\displaystyle \frac{17\pi}{6}$.
Soit un point $A$ du cercle trigonométrique associé au nombre $-\dfrac{\pi}{2}$. Donner quatre autres nombres qui correspondent au même point $A$.
On se place dans un repère orthonormé $(O;I; J)$. Soit $M$ un point sur le cercle trigonométrique associé au nombre $x$ ($x$ est la longueur de l'arc de cercle de $I$ à $M$. On note $\alpha = \widehat{IOM}$) alors : $M\Big(\cos{(x)};\sin{(x)}\Big)$ ou $M\Big(\cos{x};\sin{x}\Big)$ ou encore
$M\Big(\cos{(\alpha)};\sin{(\alpha)}\Big)$ ou $M\Big(\cos{\alpha};\sin{\alpha}\Big)$ vspace{20} Pour $x \in \mathbb{R}$ et $k \in \mathbb{Z}$ : vspace{5} ,, $(\cos{x})^2 + (\sin{x})^2 = 1$ vspace{5} ,, $-1 \leqslant \cos{x} \leqslant 1 $ et $-1 \leqslant \sin{x} \leqslant 1 $ vspace{5} ,, $\cos{(x + k\times 2 \pi)} = \cos{x}$ et $\sin{(x + k\times 2 \pi)} = \sin{x}$ vspace{10} ,, $\tan{(x)} = \dfrac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}$ &
mark({dx: 3,dy: 3,axes: false}) //grid(0) circle(0,0,3) point('sqrt(2)/2','sqrt(2)/2','M') dash(4) down('sqrt(2)/2') line('sqrt(2)/2','sqrt(2)/2',0,'sqrt(2)/2') dash(0) line(0,0,'sqrt(2)/2','sqrt(2)/2') arrow('->') line(0,0,1,0) line(0,0,0,1) arc(0,0,1.5,0,45) math('\\cos{(x)}','sqrt(2)/2-0.25',0,{fontSize: '11pt'}) math('\\sin{(x)}',-0.4,'sqrt(2)/2+0.08',{fontSize: '11pt'}) math('\\alpha',0.47,0.34,{fontSize: '12pt'}) math('O',-0.1,-0.01,{fontSize: '12pt'}) math('I',1.05,0.05,{fontSize: '12pt'}) math('J',0,1.15,{fontSize: '12pt'}) line(1,-3,1,3) math('\\widehat{IOM} = \\alpha','0.15','-0.2',{fontSize: '12pt'}) color('#ff0000') arrow('-') arc(0,0,3,0,45) line(1,0,1,'pi/4') math('x',0.85,0.7,{fontSize: '12pt'})
On se place dans un repère orthonormé $(O;I; J)$. Soit $M$ un point sur le cercle trigonométrique associé au nombre $x$ : $x$ est la longueur de l'arc de cercle de $I$ à $M$. On note $\alpha = \widehat{IOM}$. On pose $A(\cos{(x)};0)$ et $B(0;\sin{(x)})$. En utilisant le triangle $AOM$, démontrer que $(\cos{x})^2 + (\sin{x})^2 = 1$.
mark({dx: 3,dy: 3,axes: false}) //grid(0) circle(0,0,3) point('1','0',{name: 'M',left: 0.05,top: 0.05}) dash(0) arrow('->') line(0,0,1,0) line(0,0,0,1) math('O',-0.1,-0.01,{fontSize: '12pt'}) math('I',1.05,0.05,{fontSize: '12pt'}) math('J',0,1.2,{fontSize: '12pt'}) math('\\widehat{IOM} = 0^\\circ','-0.45','-0.35',{fontSize: '12pt'}) math('x = 0','-0.18','-0.65',{fontSize: '12pt'})
$\cos{(0)} = 1$ ; $\sin{(0)} = 0$ &
mark({dx: 3,dy: 3,axes: false}) //grid(0) circle(0,0,3) point('sqrt(3)/2','1/2','M') dash(4) down('1/2') line('sqrt(3)/2','1/2',0,'1/2') dash(0) line(0,0,'sqrt(3)/2','1/2') arrow('->') line(0,0,1,0) line(0,0,0,1) arc(0,0,1.5,0,30) math('\\cos{(x)}','sqrt(3)/2-0.25',-0.05,{fontSize: '11pt'}) math('\\sin{(x)}',-0.4,'1/2+0.08',{fontSize: '11pt'}) math('30^\\circ',0.53,0.24,{fontSize: '12pt'}) math('O',-0.1,-0.01,{fontSize: '12pt'}) math('I',1.05,0.05,{fontSize: '12pt'}) math('J',0,1.2,{fontSize: '12pt'}) math('\\widehat{IOM} = 30^\\circ','-0.45','-0.30',{fontSize: '12pt'}) math('x = \\dfrac{\\pi}{6}','-0.18','-0.60',{fontSize: '12pt'}) color('#ff0000') arrow('-') math('x',1.02,0.32,{fontSize: '12pt'})
$\cos{(\frac{\pi}{6})} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\sin{(\frac{\pi}{6})} = \dfrac{1}{2}$ &
mark({dx: 3,dy: 3,axes: false}) //grid(0) circle(0,0,3) point('sqrt(2)/2','sqrt(2)/2','M') dash(4) down('sqrt(2)/2') line('sqrt(2)/2','sqrt(2)/2',0,'sqrt(2)/2') dash(0) line(0,0,'sqrt(2)/2','sqrt(2)/2') arrow('->') line(0,0,1,0) line(0,0,0,1) arc(0,0,1.5,0,45) math('\\cos{(x)}','sqrt(2)/2-0.25',0,{fontSize: '11pt'}) math('\\sin{(x)}',-0.4,'sqrt(2)/2+0.08',{fontSize: '11pt'}) math('45^\\circ',0.47,0.34,{fontSize: '12pt'}) math('O',-0.1,-0.01,{fontSize: '12pt'}) math('I',1.05,0.05,{fontSize: '12pt'}) math('J',0,1.2,{fontSize: '12pt'}) math('\\widehat{IOM} = 45^\\circ','-0.45','-0.30',{fontSize: '12pt'}) math('x = \\dfrac{\\pi}{4}','-0.18','-0.60',{fontSize: '12pt'}) color('#ff0000') arrow('-') math('x',0.95,0.5,{fontSize: '12pt'})
$\cos{(\frac{\pi}{4})} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ; $\sin{(\frac{\pi}{4})} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ||
mark({dx: 3,dy: 3,axes: false}) //grid(0) circle(0,0,3) point('1/2','sqrt(3)/2','M') dash(4) down('sqrt(3)/2') line('1/2','sqrt(3)/2',0,'sqrt(3)/2') dash(0) line(0,0,'1/2','sqrt(3)/2') arrow('->') line(0,0,1,0) line(0,0,0,1) arc(0,0,1.5,0,60) math('\\cos{(x)}','1/2-0.25',-0.05,{fontSize: '11pt'}) math('\\sin{(x)}',-0.4,'sqrt(3)/2+0.08',{fontSize: '11pt'}) math('60^\\circ',0.22,0.22,{fontSize: '12pt'}) math('O',-0.1,-0.01,{fontSize: '12pt'}) math('I',1.05,0.05,{fontSize: '12pt'}) math('J',0,1.2,{fontSize: '12pt'}) math('\\widehat{IOM} = 60^\\circ','-0.45','-0.30',{fontSize: '12pt'}) math('x = \\dfrac{\\pi}{3}','-0.18','-0.60',{fontSize: '12pt'}) color('#ff0000') arrow('-') math('x',0.95,0.52,{fontSize: '12pt'})
$\cos{(\frac{\pi}{3})} = \dfrac{1}{2}$ ; $\sin{(\frac{\pi}{3})} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ &
mark({dx: 3,dy: 3,axes: false}) //grid(0) circle(0,0,3) point('0','1',{name: 'M',top: -0.2}) dash(4) down('1') line('0','1',0,'1') dash(0) line(0,0,'0','1') arrow('->') line(0,0,1,0) line(0,0,0,1) arc(0,0,1.5,0,90) math('\\cos{(x)}','-0.25',-0.13,{fontSize: '11pt'}) math('\\sin{(x)}',-0.45,'1+0.12',{fontSize: '11pt'}) math('90^\\circ',0.42,0.53,{fontSize: '12pt'}) math('O',-0.1,-0.01,{fontSize: '12pt'}) math('I',1.05,0.05,{fontSize: '12pt'}) math('J',0,1.2,{fontSize: '12pt'}) math('\\widehat{IOM} = 90^\\circ','-0.45','-0.30',{fontSize: '12pt'}) math('x = \\dfrac{\\pi}{2}','-0.18','-0.60',{fontSize: '12pt'}) color('#ff0000') arrow('-') math('x',0.85,0.75,{fontSize: '12pt'})
$\cos{(\frac{\pi}{2})} = 0$ ; $\sin{(\frac{\pi}{2})} = 1$ &
mark({dx: 3,dy: 3,axes: false}) //grid(0) circle(0,0,3) point('-1','0',{name: 'M',top: -0.15}) dash(4) //down('1') //line('0','1',0,'1') dash(0) line(0,0,'-1','0') arrow('->') line(0,0,1,0) line(0,0,0,1) arc(0,0,1.5,0,180) //math('\\cos{(x)}','-0.25',-0.13,{fontSize: '11pt'}) //math('\\sin{(x)}',-0.45,'1+0.12',{fontSize: '11pt'}) math('180^\\circ',-0.3,0.65,{fontSize: '12pt'}) math('O',-0.1,-0.01,{fontSize: '12pt'}) math('I',1.05,0.05,{fontSize: '12pt'}) math('J',0,1.2,{fontSize: '12pt'}) math('\\widehat{IOM} = 180^\\circ','-0.45','-0.30',{fontSize: '12pt'}) math('x = \\pi','-0.18','-0.60',{fontSize: '12pt'}) color('#ff0000') arrow('-') math('x',-0.15,1.15,{fontSize: '12pt'})
$\cos{(\pi)} = -1$ ; $\sin{(\pi)} = 0$
On se place dans un repère orthonormé $(O;I; J)$. Soit $M$ un point sur le cercle trigonométrique associé au nombre $\dfrac{\pi}{6}$ : $\dfrac{\pi}{6}$ est la longueur de l'arc de cercle de $I$ à $M$. On note $\alpha = \widehat{IOM}$. On pose $A(\cos{(\frac{\pi}{6})};0)$ et $B(0;\sin{(\frac{\pi}{6})})$. vspace{10}
Faire une figure.
Donner la mesure de $\alpha$ en degré.
Démontrer que $OA = BM$
Démontrer que $OMJ$ est un triangle isocèle.
Démontrer que $\widehat{MOJ} = 60^\circ$
Démontrer que $OMJ$ est un triangle équilatéral.
Que dire de la droite $(BM)$ dans le triangle $OMJ$ ?
En déduire que $B$ est le milieu de $[OJ]$. Donner la longueur $OB$.
Calculer la longueur $BM$.
Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de $\sin{(\frac{\pi}{6})}$ et $\cos{(\frac{\pi}{6})}$