Un répère c'est donner trois points $O$ ; $I$ et $J$ non alignés. On note un repère $(O;I;J)$ avec :
,, $O$ est l'*{bold::origine} du repère.
,, La droite $(OI)$ est l'*{bold::axes des abscisses} (orienté de $O$ vers $I$). L'axe des abscisses $(OI)$ est très fréquemment horizontal.
,, La droite $(OJ)$ est l'*{bold::axes des ordonnées} (orienté de $O$ vers $J$). L'axe des abscisses $(OI)$ est très fréquemment vertical.
,, La longueur $OI$ est l'unité sur l'axe des abscisses qui correspond à la distance entre deux graduations sur cet axe.
,, La longueur $OJ$ est l'unité sur l'axe des ordonnées qui correspond à la distance entre deux graduations sur cet axe. vspace{10} Dans la grande majorité des cas le répère est *{bold::orthogonal} c'est à dire que le triangle $OIJ$ est rectangle en $O$ (quand ce n'est pas spécifié, le repère est orthogonal).
Quand le triangle $OIJ$ est isocèle-rectangle en $O$ ($OI = OJ$) on dit que le répère $(O;I;J)$ est *{bold::orthonormé}.
On considère un repère $(O;I;J)$. Un point est repéré par un couple de deux réels. Le premier réel est le répérage sur l'axe des abscisses et correspond à l'abscisse du point. Le deuxième réel est le répérage sur l'axe des ordonnées et correspond à l'ordonnée du point. Le couple de ces deux réels est appelé *{bold::coordonnées} du point. Pour le point $M$ on note ses coordonnées $M(x;y)$ où $x$ est l'abscisse du point $M$ et $y$ son ordonnée. vspace{5} mark({Ox : '11cm', Oy : '4cm',dx: 2,cmx : 4,cmy: 2}) grid(3) width(3) point(0,0,{name: 'O',left: -1.3,top: -1}) point(6,3,{name: 'M',left: -0.01,top: 0.2}) math('(6;3)','lastX+1.3','lastY+1.1') dash(4) line(6,0,6,3) line(0,3,6,3) dash(0) arrow('<-') line(1.1,-0.1,3,-2) math('I','lastX+0.1','lastY+0.1') line(-0.1,1,-3,1) math('J','lastX-0.8','lastY+0.5') line(6.1,-0.1,7,-2) text('abscisse de $M$','lastX+0.2','lastY+0.5') line(-0.1,3,-3,4) text('ordonnée de $M$','lastX-6.5','lastY+1') vspace{5} Dans un repère $(0;I;J)$ : $O(0;0)$ ; $I(1;0)$ et $J(0;1)$
Construire un repère orthonormé $(0;I;J)$ d'unité graphique $2\;cm$ sur les deux axes.
Placer $A(2;-2)$ ; $B(5;4)$ et $C(0;3)$
Placer le point $D$ pour que $ABCD$ soit un parallèlogramme.
Donner les coordonnées de $D$.
Construire un repère orthonormé $(0;I;J)$ d'unité graphique $1\;cm$ sur les deux axes.
Placer $E(5;0)$ ; $F(2;-2)$
Placer les points $G$ et $H$ pour que $EFGH$ soit un losange.
Donner les coordonnées de $G$ et $H$.
On considère un repère $(O;I;J)$ et deux points $A$ et $B$ tels que $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$. Le point $I$, milieu du segment $[AB]$ a pour coordonnées : $I\Big( \dfrac{x_A+x_B}{2} ; \dfrac{y_A+y_B}{2}\Big)$
Dans un repère $(O;I;J)$, on donne les points : $R(-1;4)$ ; $S(-2;1)$ ; $T(3;0)$ et $U(4;3)$
Construire $(O;I;J)$ puis placer les points $R$ ; $S$ ; $T$ et $U$
Calculer les coordonnées du milieu de $[RT]$ et $[SU]$. Que conclure ?
On considère un repère *{bold::orthonormé} $(O;I;J)$ et deux points $A$ et $B$ tels que $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$. La longueur du segment $[AB]$ vaut : $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$
Dans un repère *{bold::orthonormé} $(O;I;J)$, on donne les points : $R(1;4-1$ ; $S(-2;0)$ ; $T(0;6)$ et $U(3;5)$
Construire $(O;I;J)$ puis placer les points $R$ ; $S$ ; $T$ et $U$
Calculer $RT$ et $SU$. Que conclure ?
Dans un repère orthonormé $(O; I, J)$, on considère les points $A$ et $B$ de coordonnées $(2; 0)$ et $(5; 0)$. vspace{10}
On appelle $C$ le point d’ordonnée positive tel que $ABC$ soit un triangle équilatéral. Déterminer les coordonnées du point $C$.
Soit $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$. Déterminer les coordonnées du point $G$.
Les points $I$, $J$ et $K$ sont les milieux respectifs des segments $[AB]$, $[AC]$ et $[BC]$.
Calculer les coordonnées des points $I$, $J$ et $K$.
Démontrer que le triangle $IJK$ est équilatéral.
Démontrer que le point $G$ est le centre de gravité de $IJK$.
On munit le plan d’un repère orthonormé $(O; I, J)$. On place les points suivants :
,, $T(−2,2;1,2)$ hspace{50} ,, $A(−1,2;3,6)$ hspace{50} ,, $C(6;0,6)$ vspace{10}
Calculer les valeurs exactes des longueurs des trois côtés du triangle $TAC$.
Démontrer que le triangle $TAC$ est rectangle.
On appelle $K$ le milieu de $[TC]$. Calculer les coordonnées de $K$.
Quelles sont les coordonnées du point $E$ tel que $ECAT$ soit un rectangle ?
On munit le plan d’un repère orthonormé $(O; I, J)$. On place les points suivants :
,, $S(−3,2;3,2)$ hspace{50} ,, $A(8;1,6)$ hspace{50} ,, $W(3,2;8)$ hspace{50} ,, $P(1,6;-3,2)$ vspace{10}
Calculer les longueurs des trois côtés de $SWA$.
Montrer que le triangle $SWA$ est isocèle rectangle.
Calculer les coordonnées des milieux des segments $[SA]$ et $[WP]$.
Montrer que $SWAP$ est un carré.