On considère un ensemble de nombres réels $\mathcal{D}$. Une fonction $f$ sur $\mathcal{D}$ est un processus transformant un nombre réel $x \in \mathcal{D}$ en un réel et *{bold::un seul} que l'on appelle *{bold::image} du réel $x$. vspace{10} $\mathcal{D}$ est l'ensemble de définition de la fonction $f$ que l'on note souvent $\mathcal{D}_f$. L'ensemble de définition d'une fonction peut être tous les nombres réels noté $\R$ ou bien être constitué d'une ou plusieurs parties de $\R$. vspace{10} Soit $a \in \mathcal{D}$ alors l'image *{bold::unique} du réel $a$ par la fonction $f$ se note $f(a)$ et se dit "$f$ de $a$". On peut noter aussi $f : a \mapsto f(a)$. vspace{10} Si le réel $b$ est l'image du réel $a$ par la fonction $f$ alors $b=f(a)$. On dit que $a$ est l'*{bold::antécédent} de $b$ par la fonction $f$ :
,, $f(a) = b$ signifie que l'image (unique) de $a$ par la fonction $f$ est égale à $b$.
,, $f(a) = b$ signifie qu'un antécédent de $b$ par la fonction $f$ est égal à $a$.
Un site internet propose l'achat de morceaux de musique. On peut donc exprimer le prix à payer sur internet *{tdu::en fonction} du nombre de morceaux de musique achetés. On représente cet énoncé par la fonction $f$.
On sait que $f(10)=9$.
Un antécédent de est égal à par la fonction $f$.
L'image de est égale à par la fonction $f$.
Si on achète morceaux de musique, on paiera €.
Si on achète $2$ morceaux de musique, on paiera $2,6$ €.
Un antécédent de est égal à par la fonction $f$.
L'image de est égale à par la fonction $f$.
$f\Big($$\Big)=$
L'image de $5$ est égale à $6$ par la fonction $f$.
Un antécédent de est égal à par la fonction $f$.
$f\Big($$\Big)=$
Si on achète morceaux de musique, on paiera €.
Un antécédent de $17$ est égal à $18$ par la fonction $f$.
$f\Big($$\Big)=$
L'image de est égale à par la fonction $f$.
Si on achète morceaux de musique, on paiera €.
On considère une fonction $f$ définie sur $\mathcal{D}_f$. Un *{bold::tableau de valeurs} de $f$ est un tableau où la première ligne (ou colonne) représente des antécédents $x$ et sur la deuxième ligne (ou colonne) les images correspondantes $f(x)$ : vspace{5}
$x$ & $-1$ & $4$ & $2,3$ & $\sqrt{2}$ & $\frac{1}{3}$ & $a$ || $f(x)$ & $f(-1)$ & $f(4)$ & $f(2,3)$ & $f(\sqrt{2})$ & $f(\frac{1}{3})$ & $f(a)$
On peut exprimer la taille ($f(x)$ en centimètres) d'un nourrisson *{tdu::en fonction} de son âge ($x$ en jour). On traduit cet énoncé par la fonction $m$. Voici les relevés effectués sur un nourrisson : vspace{5}
$x$ & $1$ & $10$ & $20$ & $34$ & $54$ & || $m(x)$ & $50,1$ & $51$ & $53,5$ & $58$ & $60$ &
Pour la *{bold::deuxième} colonne du tableau :
Un antécédent de est égal à par la fonction $m$.
L'image de est égale à par la fonction $m$.
on a $m\Big($$\Big)=$
À jours, ce nourisson mesure cm.
Pour la *{bold::troisième} colonne du tableau :
Un antécédent de est égal à par la fonction $m$.
L'image de est égale à par la fonction $m$.
on a $m\Big($$\Big)=$
À jours, ce nourisson mesure cm.
Pour la *{bold::quatrième} colonne du tableau :
Un antécédent de est égal à par la fonction $m$.
L'image de est égale à par la fonction $m$.
on a $m\Big($$\Big)=$
À jours, ce nourisson mesure cm.
Pour la *{bold::dernière} colonne du tableau, on a $m(18) = 52$ :
Un antécédent de est égal à par la fonction $m$.
L'image de est égale à par la fonction $m$.
Compléter le tableau.
À jours, ce nourisson mesure cm.
On considère une fonction $f$ définie sur $\mathcal{D}_f$. On se place dans un repère $(O;I;J)$, la *{bold::courbe représentative} de la fonction $f$, notée $\mathcal{C}_f$, est l'ensemble des points $M$ de coordonnées $M\big(x;f(x)\big)$. L'*{bold::équation de la courbe représentative} de la fonction $f$ est alors $y = f(x)$ ($y$ est l'ordonnée du point d'abscisse $x$). vspace{} Dans un repère $(O;I;J)$ :
,, $(OI)$ (axe horizontal) est l'axe des abscisses et correspond aux *{#000066::antécédents}.
,, $(OJ)$ (axe horizontal) est l'axe des ordonnées et correspond aux *{#660000::images}.
On considère la fonction $n$ définie par $n(x) = x^2-2x-8$ dont voici un tableau de valeurs : vspace{5}
$x$ & $-3$ & $-1$ & $0$ & & $2$ & $2,5$ & $3$ & $4$ & $5$ || $n(x)$ & $7$ & & & & & & & & || Point & $A$ & $B$ & $C$ & $D$ & $E$ & $F$ & $G$ & $H$ & $K$
mark({Ox : '10cm', Oy : '4cm',dx: 1,cmx : 1,cmy: 2}) grid(3) width(3) //curve('x^2-2x-8',-10,18,0.001) point(-3,7,{name: 'A',left: -0.01,top: 0.2}) point(1,-9,'D') math('I',1.1,1.1) math('J',0.2,2.8) math('O',-0.5,-0.05) dash(7) width(4) color('#000066') line(-3,0,-3,7) color('#006600') line(0,7,-3,7)
Compléter le tableau ci-dessus puis placer les points manquants. Tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_n$ de la fonction $n$.
vspace{5} On considère la fonction $k$ dont voici un tableau de valeurs : vspace{5}
$x$ & $-1,5$ & $-1$ & $0$ & $0,5$ & $1$ & $1,5$ & & || $k(x)$ & & & & & & & $2$ & $6$
mark({Ox : '5cm', Oy : '4cm',dx: 1,cmx : 0.5,cmy: 2}) grid(3) width(3) curve('x^3 -3*x^2-x+3',-10,18,0.001) math('I',1.01,1.4) math('J',0.1,2.5) math('O',-0.2,-0.05)
Compléter le tableau ci-dessus à partir de la représentation graphique $\mathcal{C}_k$ de la fonction $k$.
Soit $f$ une fonction, $\mathcal{D}_f$ son ensemble de définition et $x \in \mathcal{D}_f$. L’expression algébrique d’une fonction donne directement $f (x)$ en fonction du nombre (variable) $x$.
On considère la fonction $h$ suivante : $ h(x) = (x-1)^2+2 $
Quelle est l'image de $-1$ par la fonction $h$ ?
Donner un antécédent de $2$ par la fonction $h$
Recopier et compléter : $h(-2) = \ldots\ldots\ldots$
Recopier et compléter : $h(\ldots\ldots) = 3 $.
Recopier et compléter : $h(3) = \ldots\ldots $.
En utilisant les questions $1.$ ; $2.$ ; $3.$ ; $4.$ et $5.$, construire un tableau de valeurs de la fonction $h$.
Tracer la représentation graphique de la fonction $h$.
On considère la fonction $d$ suivante : $ d(x) = 3x+4 $
Quelle est l'image de $-2$ par la fonction $d$ ?
Quel est l'antécédent de $13$ par la fonction $d$ ?
Recopier et compléter : $d(-1) = \ldots\ldots\ldots$ et $d(\ldots\ldots\ldots) = -26 $
Recopier et compléter le tableau suivant :
$x$ & $0$ & & & $-4$ || $d(x)$ & & $2,5$ & $5$ &
Tracer la représentation graphique de la fonction $d$.
En utilisant la représentation graphique de $d$ déterminer l'image de $1$ par la fonction $d$ puis l'antécédent de $7$ par la fonction $d$.
On considère le programme de calcul suivant :
,, On choisit un nombre.
,, On élève au carré ce nombre.
,, On retranche $2$ fois le nombre choisi.
,, On ajoute $1$.
*{bold::On traduit par la fonction $u$ ce programme de calcul.}
Quel est le résultat obtenu si on choisit $-1$ comme nombre de départ ? si on choisit $2$ ?
Recopier et compléter le tableau suivant :
Nombre choisi : $x$ & $0$ & $-2$ & $5$ || Résultat : $u(x)$ & & &
Quel est l'antécédent de $1$ par la fonction $u$ ?
Quelle est l'image de $10$ par la fonction $u$ ?
Recopier et compléter : $u(2,3) = \ldots\ldots$ et $u(\ldots\ldots) = 9$
Tracer la représentation graphique de la fonction $u$. En utilisant cette représentation graphique déterminer l'image de $1,5$ par la fonction $u$ puis les antécédents de $7$.
Écrire un programme permettant de donner le résultat de ce programme de calcul en fonction d'un nombre en entrée.
Construire un tableau de $10$ valeurs de la fonction $f_1$ définie par $f_1(x) = -2x+3$ à partir de $x=-1$ et de pas $1$
Construire un tableau de $8$ valeurs de la fonction $f_2$ définie par $f_2(x) = -x^2 +2x -3$ à partir de $x=-6$ et de pas $2$
Construire un tableau de $10$ valeurs de la fonction $f_3$ définie par $f_3(x) = \sqrt{-2x+4}$ à partir de $x=-2$ et de pas $0,5$
Construire un tableau de $5$ valeurs de la fonction $f_4$ définie par $f_4(x) = \dfrac{6x-3}{2-x}$ à partir de $x=-1$ et de pas $3$
Soit la fonction $f$ définie par : $f(x) = x^2 -x -2$.
Calculer l'image de $-1$ par $f$. Déterminer un antécédent de $-2$ par $f$.
Recopier et compléter le tableau suivant :
$x$ & $-2$ & $-1,5$& $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ || $f(x)$ & & & & & & & || Point & $A$ & $B$ & $C$ & $D$ & $E$ & $F$ & $G$
Dans le repère ci-dessous on a tracé la représentation graphique de $f$. Placer dans ce repère les points $A$; $B$; $C$; $D$; $E$; $F$ et $G$.
mark({Ox : '10cm', Oy : '6cm',dx: 1,cmx : 0.5,cmy: 1}) grid(3) width(3) curve('x^2 -x -2',-10,18,0.001)
Graphiquement, déterminer l'image de $-1,75$ et de $2,5$ par $f$.
Graphiquement, déterminer les antécédents de $4$.
On considère la fonction $r$ suivante : $ r(x) = 2x^2+5 $
Calculer $r(1)$. Quelle est l'image de $2$ par $r$ ? Quelle est l'image de $\displaystyle \frac{1}{3}$ par $r$ ? calculer : $\displaystyle r(-\frac{3}{5})$.
Recopier et compléter le tableau suivant :
$x$ & $-1$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$|| $r(x)$ & & & & & & &
Tracer la représentation graphique de la fonction $r$.